20世纪50年代以来，世界各国数学教育改革风起云涌．我国在70年代中期以前，数学教育基本上还是自我封闭状态．80年代以后，在邓小平同志“面向现代化，面向世界，面向未来”的战略思想指引下，我国数学教育开始步入世界数学教育改革的潮流．数学教育界，在继承和发扬我国数学教育优良传统基础上，吸纳了世界先进的数学教育思想和数学教育理论，与我国国情相符合的数学教育观念正在逐步形成．

　　一、从数学“精英教育”观更新为“提高全民族数学文化素养”教育观

　　《中国教育改革和发展纲要》明确指出：“世界范围的经济竞争，综合国力竞争，实质上是科学技术的竞争和民族素质的竞争．从这个意义上说，谁掌握了面向21世纪的教育，谁就能在21世纪的国际竞争中处于战略主动地位．”发展基础教育是发展我国教育的重中之重，而提高受教育者的素质，是我国实现四个现代化的必由之路．在素质教育中，数学教育又处于重要的地位．这是因为随着世界科学技术迅猛发展，生产机械化和自动化程序日益提高，社会正由工业化时代进入信息化时代，信息化社会很重要一个特点是定量化和定量思维．定量化和定量思维的基础语言和工具是数学．不仅如此，一旦计算机被广泛应用，数学将是一种通用技术，人人都必须掌握．因此，数学素养将是21世纪合格公民素质结构中的一个重要组成．“数学是属于所有人的，因此我们必须将数学教给所有的人．”

　　“一种没有相当发达的数学文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落．”这是一条极富哲理的真理，这里我们无意去论证它．不妨举两个例子作为实证．例证1，数学是中国古代最发达的传统学科之一．公元前2世纪至公元14世纪，数学研究一直处于世界领先地位．出现了刘徽、祖冲之、秦九韶、杨辉、朱杰等杰出的数学家；产生了一批如《九章算术》、《详解九章算法》、《四元玉鉴》等数学名著；发明和创建了一系列如“割补术”、“贾宪三角”(二项系数表)、“大衍求一术”(一次同余式组解法)、“天元术”(建立高次方程的方法)等数学成果．可是14世纪以后，直到17世纪初西方数学传入我国之前，我国数学发展缓慢，停滞不前，数学发展出现了“中断”期．数学水平一落千丈，算书几乎失传，数学无人继承．数学史专家们从多视角探究其衰落原因．最根本的原因之一，是中国古代数学本身有致命的弱点：其一，中国古代数学“以实用、经验为基本前提，是讲究实用价值的思维方式的产物，因而重于计算，轻于逻辑．”数学没有从实用技巧型上升为公理体系，难以形成纯理性科学．其二，中国古代数学主要借助汉字来表示形和量，以及它们的运算关系．这妨碍了数学语言的抽象化、形式化，使得中国古代数学无法向近代数学发展．例证2，公元前221年，罗马人占领古希腊的亚历山大利亚城时，阿基米德正在房中的地上专心致志画他的几何图形，一群数学盲的罗马士兵冲进房后放肆涂沫他的图形，遭到阿基米德斥责，暴怒的士兵却一刀杀死了这位科学巨人．后人对此事发表评论说，罗马民族虽能建造高标准的跑马场，豪华的浴池，宏伟的凯旋门，但罗马人没有理性意识，没有创新精神，没有自己民族的文化．

　　这两个例证告诉我们，数学与文化是休戚相关的，数学作为一种文化，在人类各种文化中占据一种特殊地位．它关系到一个民族的文化兴衰，也关系到一个民族的兴盛和衰落．因此，数学教育，特别是基础教育的数学教育，它不单纯是数学科学的教育．从某种意义讲，它更是数学文化的教育，起着“对全体人民的科学思维与文化素质的哺育”的作用．

　　提高全民族素质，是指既提高人的先天素质——“人口素质”，又提高人的后天养成的素质．因此我们所说的数学教育是提高全民族素质的教育，就是要提高全体学生的数学文化素养和非数学文化素养(或通常说的非智力素质)．

　　关于数学文化素养的要求，反映在各国数学教学目的具体内容上不尽相同，总的来讲主要体现在知识、能力和素质三个方面．这三个方面是互相依存，互相促进，有机地构成一个整体．

　　在数学知识方面，以往，我国只强调“学好从事现代化生产和进一步学习现代科学技术所必需的数学基础知识”，而忽视了“现代社会中每一个公民适应日常生活”所必需的数学知识，特别是对“相当多的行业和专业不同程度地需要一些近代和现代数学的内容”，如“电子计算机和计算器，概率统计，微积分，还有优选法，统筹法，正交试验法，线性规划以及向量矩阵，空间解析几何初步等．”内容完全未涉及．因此，随着社会的进步，经济的发展，我们应让学生具有适应日常生活，参加生产和进一步学习所必需的代数和几何的基础知识，以及近现代数学的初步知识．

　　数学能力方面，一般数学教育论著都是提“三大能力”和运用数学知识分析和解决问题的能力．在1995年国家教委确定的《课程标准》中，已将能力要求确定为：“思维能力、运算能力、空间想象能力”．以逐步形成“综合应用数学的能力”．这就改变了传统的逻辑思维能力的提法，同时也使得思维有了更为广泛的涵义．更主要的是在《课程标准》中将思维能力提到了能力要求的首位，使它居能力之核心地位得到确认．

　　建国以来，我国在教学中历来重视思想教育，特别是辩证唯物主义观点的教育，可是在实际教学中却反复多次，有时，生搬硬套，牵强附会，搞形式主义一套；有时，又一味注重知识和技能教学，忽视思想教育，尽管教学目的写得很明确，而实际上思想教育流于形式．80年代以后，除强调思想教育之外，开始注意对学生个性品质教育，也就是我们通常所说的进行非智力因素的教育，或叫做非数学文化素养的教育．关于非数学文化素养的构成是哪些则说法不一，我们认为它由心理品质、数学品质(有的称数学观念品质)、政治思想观点三部分组成．心理品质是指我国《九年制义务教育初中数学教学大纲》所提到的学习目的、兴趣、毅力，以及科学态度，独立性和创造性，良好学习习惯等六个方面内容．数学品质方面，我们认为应主要强调三个方面：一是树立学生对数学的“学”和“做”的自信心；二是让他们懂得数学的价值和应用；三是学生要具有数学的意识，能用数学语言进行交流．关于政治思想教育方面，还是提培养辩证唯物主义观点较为恰当．事实上辩证唯物主义观包含了数学观．在数学教育中，培养学生辩证唯物主义观点，主要是对学生进行实践、运动、联系、对立、转化等辩证唯物主义观点的教育．这些观点是通过丰富的数学材料(当然也包括数学史、数学家的事迹及贡献等)的教学，潜移默化、渗透而逐步形成的，数学观也相伴而生．

　　数学教育由“精英教育”向“大众教育”，“应试教育”向“素质教育”转变的观点，已被愈来愈多的人所接受．然而这一转变需要经历一个过程，在这个转变的过程中，还有许多问题，特别是一些难点，需要我们去探索，去解决．首先，要树立学生的正确数学观．绝大多数学生认为数学无非是一大堆公式、法则、命题的汇集，太难学了，感到惧怕，特别是几何，“几何，几何，想破脑壳”．由惧怕而产生厌学．因此，在数学教育中，应结合教材和学生的实际，向学生介绍数学在信息社会日益重要的地位和广泛的应用．21世纪的数学将是人们需要掌握的一种普适性技术，从而激发他们学习兴趣，明确学习目的，树立学好、用好数学的信心．其次，选择数学教学内容，教学方法、教学手段时，要面向全体学生．所谓面向全体学生就是要让所有学生，学到适应现代生产发展和现代社会生活，人人必须学到而且能够学到的最基本的数学内容．这一点是吻合当今国际上广为流传的“大众数学”的观点．数学方法的选择应适应数学活动的需要，采取“问题解决”和“数学建模”的策略，让学生多做(并非是多解题)．再次，需要用极大热情和耐心，提高数学差困生的数学素养，帮助他们努力达到数学教学大纲所规定的基本要求．数学差困生主要表现在思维能力差，学习习惯、方法差，学好数学的自信心不足．为此，我们要针对差困生的三差进行教学．首先要抓好代数、平面几何、立体几何入门关键期的教学，循序渐进地帮助他们顺利渡过“入门难”，“论证难”．其次变“教法”为“学法”，有计划地让学生做好课前预习，听课、复习和选择课外读物的指导，培养他们良好的学习习惯和学习方法．

　　二、数学教育内容从教“形式化”理论，变革为教“现实的数学”

　　传统的数学教育，把数学看成是一个已经完成的现成的形式化理论．因此，传统的数学教育内容只注重数学的概念和理论．讲概念、定理只讲形式，而不注重实质，忽视“现实的数学”．

　　所谓“现实的数学”教学，有以下几层意识：

　　第一，数学的概念，数学的运算、法则，以及数学的命题，都是来自于现实世界的实际需要而形成的，是现实世界的抽象反映和人类经验总结．因此，数学教学内容来自于现实世界．把哪些最能反映现代生产，现代社会生活需要的最基本最核心的数学知识和技能．作为数学教育的内容．

　　第二，数学研究的对象，是现实世界同一类事物或现象抽象而成的量化模式．而现实世界事物、现象之间又充满了各种各样的关系和联系，从而，数学教育的内容就不能仅仅局限于数学内部的内在联系．就中学数学教学内容来讲，不能只考虑代数、几何、三角之间的联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系．如，日常生活，工农业生产，货币流通和商品生产经营，以及其它学科等联系．这样才能使学生一方面获得既丰富多彩而又错综的“现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系．另一方面，学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中去．

　　第三，我们已指出社会需要的人才是多方面的，不同层次的，不同专业所需的数学知识不尽相同．因而，数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识，这就是我们所说的不同的人有不同需要的“现实的数学”．再说，建构主义认为，数学不是现成地存在于现实世界，而是学生的认知活动．也就是说，学生是通过各种方式，从所体验到的客观现实世界中，获得的数学经验、数学知识以及关于这些知识的结构．从这个意义来讲，数学教育所提供的内容应该是学生的各自的“数学现实”，即“学生自己的数学”．通过“现实的数学教学”，学生就可以通过自己的认知活动，构建数学观，促进数学知识结构的优化．

　　三、数学教学方式由向学生灌输数学结论，到学生学习“数学化”的变革

　　在第一章我们已介绍过，数学的产生、形成、发展的本身就是一个数学化的过程．不仅如此，正如俄罗斯数学家Б.В.Гнеденко所说，当今的世界“不仅仅是科学在数学化，而且绝大多数实践活动也在数学化”，“我们的时代是知识数学化的时代．”

　　什么是数学化呢？著名的数学家和数学教育家，Freudenthal认为，人们在观察，认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫做数学化．说简单点，数学地组织现实世界的过程就是数学化．

　　数学化是一种由浅入深，具有不同层次、不断发展的过程．一般来讲，数学化的对象，一是现实客观事物；二是数学本身．对客观世界的数学化，形成了数学概念、运算法则、规律、定理，以及为解决实际问题而构造的数学模型等；对数学本身的数学化，就是深化数学知识，或者使数学知识系统化，形成不同层次的公理体系和形式体系．可以这样说，任何数学的分支都是数学化的结果．

　　既然任何数学分支都是数学化的结果，而数学化的关键又在于运用数学的思想和方法去分析和研究客观世界．因此，在数学的教育过程中，就是要让学生学会用数学思想和方法去分析、研究客观世界的各种现象，形成数学的概念，运算的法则，构造数学模型等等．同时，还要让学生用所获得的数学知识，运用数学思想和方法去观察、分析客观世界的现象，为具体问题构造数学模型，以提高数学知识水平，掌握数学的技能．从这个角度讲，学习数学就是学习数学化．正如弗赖登塔尔所说：“数学教学必须通过数学化来进行”

　　一提到数学化，人们就会联想到数学教学的“科学性”和“严谨性”原则．事实上，它与传统数学教育所提出的“科学性”、“严谨性”是有区别的．传统数学教育注重教数学活动的“最终”产物，向学生灌输已发现的现成的演绎体系．它过分地强调数学教学的科学性，即逻辑性、严密性和系统性．因而在教学中，注重数学知识的系统性、完整性；追求精确、完美的形式；讲任何概念都要下定义；课堂上只能用严谨的数学语言，而不能用半点自然语言来描述概念、法则等．“科学性”、“严谨性”的原则几乎成了数学教师的紧箍咒，不能越雷池一步．由于不适度强调“科学性”、“严谨性”的原则，使得我们在数学教育中，只注重形式，而不注重在教学过程中，渗透数学的思想和方法，用数学思想和方法去观察、发现、分析数学的结论，注重对这些结论的实质性理解和领悟．

　　当然，我们所说的学习数学化，并不是不要数学学科的“科学性”和“严谨性”．恰恰相反，这正是辩证地认识了数学严谨性特点而提出的．数学化的本身是一种由浅入深，具有不同层次，不断发展的过程．历史的事实告诉我们，数学家在研究数学时，在建立公理系统或形式体系的过程本身，就是一个从不十分严谨(非形式化)到逐步严谨(形式化)的演变过程，就拿Newton和Leibniz发明微积分来说，他们创建了微分和积分的运算，但作为这两种运算的最基本工具——极限，起初他们并没有给出严格的定义，而是后人逐步地给出精确的严密的ε-δ形式定义．因此，学习数学化，实质上是约简式地再现数学结论发现的过程，当然它也是一种从不严谨到严谨的发展过程．例如，我们讲授数学概念时，首先从描述概念的“外延”入手，接着从各种对象的特殊情况中，舍弃它们特定的质的内容，分析出它们的量的共同特征，然后再抽象出更广泛，更一般形式的语言描述的概念．总之，学习“数学数学化”的过程，就是要从学生的现实的数学水平出发，或者说从学生所处的不同“数学化”水平出发，让学生在直观与抽象的结合过程中，像数学家那样去进行想象和猜测，然后再去进行检验和证实，用严谨的数学语言去表达所发现的数学事实．这就是所谓的“先做后说”的教学方式，这本身就体现了数学教学的科学性．这样的教学方式，才能使学生从“被动的接受”转向“主动的建构”．

　　四、数学教学是数学活动的教学

　　数学教学是数学活动的教学，是前苏联著名数学教育学家Α.Α.Столяр提出的现代数学教学观点．

　　所谓数学活动的教学，就是在“数学领域内一定的思维活动，认识活动的教学．”

　　为什么说数学教学是数学活动的教学呢？

　　首先，从教学论研究对象的本质来看，传统教学论以教师、教材、课堂为中心，把教学过程理解为知识、技能的授—受过程，而且局限于学生个体的知识传授过程．所传授的知识也是发展到一定成熟阶段的学科知识，并将这些知识看成是静止稳定的，永恒不变的真理．现代教学论则把学生视为具体的活生生的，有丰富个性的，不断发展的认识的主体，是具有主观能动性的独立个体和群体．而教学过程则认为是学生在教师指导下有目的地去获取对于客观世界认识的知识，进而发展社会适应性的能动的反映过程．由此可见，现代教学论与传统教学论的根本区别在于，现代教学论强调教学是一个教师和学生双方共同活动的过程，这种活动过程是认识的主体——学生，在教师指导下的一种认识、思维过程．

　　其次，从数学的本质看，数学科学具有两重性．它既是一门系统性的演绎科学，又是一门实验性的归纳科学．如果我们从其已发现的现成的结论(公式、法则、定理等)来看，那么它是演绎推理的结果．它用一种形式化的语言、符号体系来表述．这是一种静态的数学观．然而，动态的数学观认为，任何数学对象都并非经验世界中的真实存在，而只是抽象思维的产物．从宏观讲，正如美国数学教育家Romberg所指出的，数学“和其它知识一样都是人类创造性的产物”，它是通过“人类的一种创造性活动”产生的．从微观讲，数学活动是一种思维活动，就其活动过程而言，是一种发现或创造的过程．因此，数学应理解成是数学活动的全部过程．

　　两种对立的数学观，产生了两种不同的数学教育观．传统的数学教育是在静态的数学观指导下，建立在行为主义心理学基础上的一种教育．从认识论角度来看，它是机械反映论．因此，它只注重传授已发现的现成的数学结论，而学生只是被动吸收教师的传授，死记硬背现成的、形式化的结论．

　　既然把数学教学看作数学活动的教学．那么，什么是数学活动呢？

　　所谓数学活动，就是按照下列三个阶段进行的一种思维活动：

　　1°经验材料的数学组织化．即借助于观察、试验、归纳、类比、概括积累事实材料；

　　2°数学材料的逻辑组织化．即由积累的材料中抽象出原始概念和公理体系并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论；

　　3°应用理论．

　　从数学活动所经历的三个阶段不难看到，数学不仅仅要教给学生已发现的现成的数学理论，而且还要教给学生进行数学活动．也就是说要教学生像数学家那样去“活动”，那样去思维．正如Freudenthal所说“应通过再创造来学习数学．”

　　用再创造方法学习数学，并不意味要求学生重复数学家所经历的艰难曲折的道路，而是给学生创造一个“观察、试探、猜测”的情景，模拟数学家的活动，去体验数学家是怎样由实验而归纳，由类比而猜想，由发现到证明的艰难思维、认识活动的经历．

　　总之，数学教学既要教“数学知识”，又要教“数学活动”；既要教学生“证明”，还要教学生“猜测”．把数学知识的教学与获得知识的认识活动有机地结合起来．